势场中微观粒子波函数的一般形式
从数学的角度分析了许多具体案例后，张朝阳想与各位观众一起再重新讨论一下其中具体的物理意义。首先要讨论的是量子力学的一些基本原理。在量子力学中，单个微观粒子用波函数ψ来刻画。它本身在更多时候仅仅是一个数学工具，有物理意义的是它的模方：
它表达在某点处发现粒子的概率密度（Probability density）。那么在整个空间上找到这个微观粒子的概率无疑是：
这个等式又称为归一化条件。同时，量子力学中的物理量被上升到算符的概念，比如动量算符定义为对空间的求导：
以及自由粒子的哈密顿算符（Hamiltonian）：
这里等式右边仅有动能部分，没有势能的参与——换句话说就是不受力的作用，这也是我们所说的“自由”的意义。
代入自由粒子薛定谔方程：
得到：
两边除掉ψ(t,x)后，它们应该等于一个常数：
由第一个等号得到：
它的解是我们熟悉的：
相应地，从第二个等号得到：
利用哈密顿算符的定义，可以将它整理成：
不难看出函数h(x)事实上是哈密顿算符对于本征值（eigen value）ω的本征函数（eigen function）或者本征态（eigen state）。
这个时候，如果在量子体系中引入势场，相应的哈密顿算符应该写为：
再次利用分离变量法，我们需要解本征方程：
定态与量子测量的概率诠释
至此，我们的问题又重新回到了求解哈密顿算符的本征方程。一般为了方便起见，我们对本征函数还有另外的要求，比如求各本征函数之间是正交归一的。正交归一指对以n、m标记的本征函数之间满足：
这里假设了在势场中的粒子取到束缚态，“归一”和前面提到的“归一化”是一个意思，而“正交”是指粒子处于不同本征态时不会互相干涉。如果谈论的是自由粒子来说，则正交归一可以认为是要求：
又称为δ归一化条件。
中：
随着时间的流逝，可以知道：
那么当我们进行观测时，仪器给出对应观测值（比如某个能级E_k）的概率应该恰好为展开系数的模方：
这也就是量子测量的概率诠释的一种表达方式。
粒子在无限深方势阱中的波函数
形象地说，我们在x<0和x>a的区域分别放下一堵坚实的高墙，使得粒子一定无法穿越或者渗透进去，于是：
其中：
在x = 0的处的边界条件首先排除了余弦解，再利用x = a处的边界条件，对k_n做出约束，于是可以得到：
对应的能量本征值：
对于前面的系数，可以通过归一化条件求得：
于是我们可以得到，在这样一个势场中，粒子波函数最一般的形式是
如果知道了初始时刻
利用正交归一化条件可以求出分解系数
进而可以讨论这样一个粒子在无限深方势阱中随时间如何演化。
(张朝阳求解无限深方势阱中的薛定谔方程)
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本节课相关视频如下
能量算符的本征态—定态
含势V情况下的本征函数
无限深势阱的本征函数